Question

12．在△ABC中，如图，∠C=90°，AC=6，BC=8，设直线l与斜边AB交于点E，与直角边交于点F．设AE=x，是否存在直线l同时平分△ABC的周长和面积？若存在直线l，求出x的值，若不存在直线l，请说明理由．

Answer 1

分析 根据AE=x得到AF，然后表示三角形AEF的面积，列出两个变量之间的关系式即可得出结论．

解答 解：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，所以AB=10．
∴三角形ABC的周长为24，又因EF平分三角形ABC的周长，
∴AE+AF=12，
而AE=x，
∴AF=12-x
过点E作ED⊥AC于D，
则$\frac{DE}{AE}$=sinA=$\frac{4}{5}$，∴DE=$\frac{4}{5}$x，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}x（12-x）=\frac{1}{2}×6×8$，
∴x²-12x+60=0，方程无解，
∴不存在直线l同时平分△ABC的周长和面积．

点评 本题考查了一元二次方程的应用及根据实际问题列出二次函数关系式，解题的关键是根据已知条件表示出有关的线段的长．