Question

3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC=3DF，设$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AF}$=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$
• B． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$
• C． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$
• D． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示与运算性质，即可得出结论．

解答 解：如图所示，
平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC=3DF，
∴$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OD}$）=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BD}$），
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
设$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$）+$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BD}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与运算性质的应用问题，是基础题目．