Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x-4，x≤0}\\{|lnx|，x＞0}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-k有4个不同的零点，则实数k取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{4}{3}$）
• B． [0，$\frac{4}{3}$]
• C． （-4，$\frac{4}{3}$）
• D． [-4，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）的图象和直线y=k有4个不同的交点，数形结合求得k的范围．

解答 解：数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x-4，x≤0}\\{|lnx|，x＞0}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-k有4个不同的零点，
则函数f（x）的图象和直线y=k有4个不同的交点，如图：
当x≤0时，f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-4x-4，∴f′（x）=（x+2）（x-2），故函数f（x）在（-∞，-2）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
在（-2，0]上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，且极大值为f（-2）=$\frac{4}{3}$．
当x＞0时，f（x）=|lnx|，故函数f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，且f（1）=0．
∴0＜k＜$\frac{4}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．