Question

5．已知矩阵P=$（{\begin{array}{l}m&1\\{3m}&{-m}\end{array}}）$，Q=$（{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}）$，M=$（{\begin{array}{l}{-2}\\ m\end{array}}）$，N=$（{\begin{array}{l}1\\{m+3}\end{array}}）$，若PQ=M+N．
（1）写出PQ=M+N所表示的关于x、y的二元一次方程组；
（2）用行列式解上述二元一次方程组．

Answer 1

分析 （1）利用矩阵的加法、乘法，即可写出PQ=M+N所表示的关于x、y的二元一次方程组；
（2）用行列式的方法，分类讨论解二元一次方程组．

解答 解：（1）由PQ=M+N，得$（{\begin{array}{l}{mx+y}\\{3mx-my}\end{array}}）=（{\begin{array}{l}{-1}\\{2m+3}\end{array}}）$，方程组为$\left\{\begin{array}{l}{mx+y=-1}\\{3mx-my=2m+3}\end{array}\right.$；（3分）
（2）$D=|{\begin{array}{l}m&1\\{3m}&{-m}\end{array}}|=-m（m+3）$，${D_x}=|{\begin{array}{l}{-1}&1\\{2m+3}&{-m}\end{array}}|=-（m+3）$，${D_y}=|{\begin{array}{l}m&{-1}\\{3m}&{2m+3}\end{array}}|=2m（m+3）$（5分）
1°当m≠0，且m≠-3时，D≠0，方程组有唯一解$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{m}}\\{y=-2}\end{array}}\right.$；
2°当m=0时，D=0，但D_x≠0，方程组无解；
3°当m=-3时，D=D_x=D_y=0，方程组有无穷多解$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t∈R）．（8分）

点评 本题考查矩阵的加法、乘法，考查用行列式解二元一次方程组，考查学生的计算能力，属于中档题．