Question

20．已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）图象的一个对称中心为（2，0），直线x=x₁，x=x₂是图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值3，且f（1）＞f（3）要得到函数f（x）的图象可将函数y=2cosωx的图象（　　）

• A． 向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度
• B． 向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度
• C． 向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度
• D． 向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度

Answer 1

分析 根据余弦函数的图象的对称性求得ω和φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），
直线x=x₁，x=x₂是f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值3，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=3，∴ω=$\frac{π}{3}$．
图象的一个对称中心为（2，0），
∴2ω+φ=$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2cos（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）．
将函数y=2cosωx=2cos$\frac{π}{3}$x 的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度，
可得y=2cos[$\frac{π}{3}$（x-$\frac{1}{2}$）]=f（x）=2cos（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）的图象，
故选：A．

点评 本题主要考查余弦函数的图象特征，余弦函数的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．