Question

1．若一个函数恰有两个零点，则称这样的函数为“双胞胎”函数，若函数f（x）=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|-a-3（a＜0）为“双胞胎”函数，则实数a的取值范围为（-$\frac{2}{3}$，0）．

Answer 1

分析 构造函数y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|与y=a+3，则只需两图象有两个交点，记g（x）=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$，利用导函数判断函数的单调性，求出函数的最值，得出y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|的最小值1-2a，于是a+3＞1-2a，即可解出a的范围．

解答 解：令f（x）=0得|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|=a+3，
∴记g（x）=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$，
则g'（x）=$\frac{a{x}^{2}-x-a+1}{{x}^{2}}$（x＞0），
令h（x）=ax²-x-a+1=0，解得x=1或x=$\frac{1-a}{a}$（舍）．
∵a＜0，∴当x∈（0，1）时，ax²-x-a+1＞0，g'（x）＞0，g（x）递增，
当x∈（1，+∞）时，ax²-x-a+1＜0，g'（x）＜0，g（x）递减，
∴g（x）的最大值为g（1）=2a-1；
∵a＜0，∴2a-1＜-1，
∴y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|≥1-2a，
∵函数f（x）=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|-a-3（a＜0）为“双胞胎”函数，即f（x）有两个零点，
∴a+3＞1-2a，又a＜0，
解得：-$\frac{2}{3}$＜a＜0．
故答案为：（-$\frac{2}{3}$，0）．

点评 本题考查了零点问题转化为函数图象交点问题，难点是对函数的构造，利用导函数求函数的最值．