Question

6．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，f（x）＜f′（x），则关于x的不等式f（x+1）＜e^x的解集为（-∞，0）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x-1}}$（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x-1}}$（x∈R），
则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x-1}}$，
∵f′（x）＞f（x），
∴f′（x）-f（x）＞0
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵f（x+1）＜e^x，f（1）=1，
∴g（x+1）＜g（1）
∴x+1＜1，
∴x＜0，
∴不等式f（x+1）＜e^x的解集为（-∞，0）．
故答案为：（-∞，0）．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．