Question

16．已知函数f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2处取得极大值6，在x=1处取得极小值．
（1）求a，b，c的值；       
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在区间[-3，3]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）因为函数f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值得到三个方程求出a、b、c；
（2）令f′（x）＞0，可得x＜-2或x＞1；f′（x）＜0，可得-2＜x＜1，即可求f（x）的单调区间；
（3）在区间[-3，3]上讨论函数的增减性，得到函数的最值．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-2．由条件知$\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）=12a-4b-2=0}\\{f′（1）=3a+2b-2=0}\\{f（-2）=-8a+4b+4+c=6}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{8}{3}$；
（2）f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜-2或x＞1；f′（x）＜0，可得-2＜x＜1，
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（1，+∞）；单调减区间是（-2，1）；
（3）由（2）可得函数在（-3，-2）上单调递增，在（-2，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，
∵f（-3）=$\frac{25}{6}$，f（-2）=6，f（1）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{61}{6}$
∴在区间[-3，3]上，当x=3时，f_max=$\frac{61}{6}$；当x=1，f_min=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数增减性的能力，属于中档题．