Question

5．设f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且a≤f（x）≤b，试问：在[a，b]中是否存在常数c，使得f（c）=c．

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=f（x）-x，根据根的存在性定理进行证明即可．

解答 解：构造函数 g（x）=f（x）-x 显然 g（x） 在[a，b]上的图象也是一条连续不断的曲线，
因为在[a，b]上总有a≤f（x）≤b，
所以在[a，b]上总有 a-x≤f（x）-x≤b-x，
即在[a，b]上总有a-x≤g（x）≤b-x，
所以g（a）≥a-a=0，
g（b）≤b-b=0，
所以由根的存在性定理得在[a，b]上至少有一个解，
即方程f（x）-x=0 在[a，b]上至少有一个解，
即在[a，b]上至少有一个常数 c，使得 f（c）-c=0，即f（c）=c．

点评 本题主要考查函数零点的判断，根据条件构造函数，利用函数零点存在的定理是解决本题的关键．