Question

15．设函数f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{x}$，g（x）=$\frac{x}{e^x}$，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式$\frac{{g（{x_1}）}}{k}$≤$\frac{{f（{x_2}）}}{k+1}$恒成立，则正数k的取值范围是$k≥\frac{1}{2e-1}$．

Answer 1

分析 利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出函数f（x）的最小值，利用导数法求出函数g（x）的最大值，利用最值关系进行求解即可．

解答 解：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式$\frac{{g（{x_1}）}}{k}$≤$\frac{{f（{x_2}）}}{k+1}$恒成立，
则等价为$\frac{g（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$≤$\frac{k}{k+1}$恒成立，
f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{x}$=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时取等号，即f（x）的最小值是2，
由g（x）=$\frac{x}{e^x}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
由g′（x）＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，
由g′（x）＜0得x＞1，此时函数g（x）为减函数，
即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）=$\frac{1}{e}$，
则$\frac{g（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$的最大值为$\frac{\frac{1}{e}}{2}$=$\frac{1}{2e}$，
则由$\frac{k}{k+1}$≥$\frac{1}{2e}$，
得2ek≥k+1，
即k（2e-1）≥1，
则$k≥\frac{1}{2e-1}$，
故答案为：$k≥\frac{1}{2e-1}$．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法进行转化，结合基本不等式以及求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．考查学生的转化和计算能力．