Question

6．已知f（α）=$\frac{{sin（\frac{π}{2}-α）cos（10π-α）tan（-α+3π）}}{{tan（π+α）sin（\frac{5π}{2}+α）}}$．
（1）化简f（α）；
（2）若α=-1860°，求f（α）的值；
（3）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），且sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简函数f（x）的解析式．
（2）利用诱导公式化简f（α）=f（-1860⁰）的值，可得结果．
（3）利用同角三角的基本关系求得cos（α-$\frac{π}{6}$）的值，再利用两角和差的余弦公式，求得f（α）的值．

解答 解：（1）f（α）=$\frac{{sin（\frac{π}{2}-α）cos（10π-α）tan（-α+3π）}}{{tan（π+α）sin（\frac{5π}{2}+α）}}$=$\frac{cosα•cosα•（-tanα）}{tanα•cosα}$=-cosα．
（2）∵α=-1860⁰=-6×360⁰+300⁰，∴f（α）=f（-1860⁰）=-cos（-1860⁰）=$-cos（-6×{360^0}+{300^0}）=-cos{60^0}=-\frac{1}{2}$．
（3）∵$α∈（0，\frac{π}{2}），sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}∴cos（α-\frac{π}{6}）=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴f（α）=-cosα=-cos[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=-cos（α-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查诱导公式的应用，两角和差的余弦公式，属于中档题．