Question

11．指数函数y=a^x和对数函数y=log_ax（其中a＞0，a≠1）的图象分别为C₁和C₂，点M在曲线C₁上，线段OM（O为坐标原点）交曲线C₁于另一点N，若曲线C₂上存在一点P，满足点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N横坐标的两倍，则点P的坐标为（4，log_a4）．

Answer 1

分析 由指数函数y=a^x和对数函数y=log_ax可知底数都是a，单调性相同，互为反函数，利用斜率相等建立关系式，即可得到答案．设P（t，log_at），可设M（α，t），N（$\frac{1}{2}$log_at，β），根据曲线C₁、C₂的表达式，解出t=log_at，β=$\sqrt{t}$，得出M、N坐标关于a、t的表达形式，最后根据M、N、O三点共线，利用斜率相等建立关系式可得出t=4，从而得出点P的坐标．

解答 解：设P（t，log_at），可设M（α，t），N（$\frac{1}{2}$log_at，β），
在指数函数y=a^x的图象上，∴有t=a^α且.$β={a}^{\frac{1}{2}lo{g}_{a}t}$，解出t=log_at，β=$\sqrt{t}$，
由此可得M（log_at，t），N（$\frac{1}{2}$log_at，$\sqrt{t}$），
∵根据M、N、O三点共线，斜率相等建立关系式
∴k_OM=K_ON ⇒$\frac{t}{lo{g}_{a}t}=\frac{\sqrt{t}}{\frac{1}{2}lo{g}_{a}t}$    解得：t=4，
∴P的坐标为：（4，log_a4）．
故答案为：（4，log_a4）．

点评 本题给出指数函数和对数函数图象上点坐标之间的关系，求其中一个点的坐标，着重考查了函数的图象与性质、指数和对数函数图象与性质的综合应用等知识，属于中档题．