Question

2．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）=3$\sqrt{3}$，射线OT：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），消去参数化为：（x-1）²+y²=3，展开利用互化公式即可得出极坐标方程．
（II）射线OT：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）分别与曲线C，直线l的极坐标方程联立解出交点坐标即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
消去参数化为：（x-1）²+y²=3，展开为：x²+y²-2x-2=0，
化为极坐标方程：ρ²-2ρcosθ-2=0．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}-2ρcosθ-2=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，化为：ρ²-ρ-2=0，ρ＞0，解得ρ=2．
射线OT：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）与曲线C交于A点$（2，\frac{π}{3}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ρcos（θ-\frac{π}{6}）=3\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
解得ρ=6，射线OT：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）与直线l交于B$（6，\frac{π}{3}）$，
∴线段AB的长=6-2=4．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直参数方程化为普通方程、曲线与射线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．