Question

12．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f'（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＞x+1的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-x-1，g'（x）=f′（x）-1＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-x-1，
∵f′（x）＜1（x∈R），
∴g′（x）=f′（x）-1＜0，
∴g（x）=f（x）-x-1为减函数，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1-1=0，
∴不等式f（x）＞x+1的解集?g（x）=f（x）-x-1＞0=g（1）的解集，
即g（x）＞g（1），又g（x）=f（x）-x-1为减函数，
∴x＜1，即x∈（-∞，1）．
故选：D．

点评 本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．