Question

4．设函数f（x）=p（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx（p是实数）在其定义域内为增函数，则p的取值范围为[1，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，分离参数得到$p≥\frac{2x}{{{x^2}+1}}=\frac{2}{{x+\frac{1}{x}}}$恒成立，结合基本不等式的性质求出p的范围即可．

解答 解：∵${f^'}（x）=\frac{{p{x^2}-2x+p}}{x^2}$，
要使f（x）为单调增函数，须f′（x）≥0恒成立，
即px²-2x+p≥0恒成立，
即$p≥\frac{2x}{{{x^2}+1}}=\frac{2}{{x+\frac{1}{x}}}$恒成立，
又$\frac{2}{{x+\frac{1}{x}}}≤1$，
故当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数，
故答案为：[1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．