Question

15．直线l与椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1相交于A?B两点，并且线段AB的中点为M（1，$\frac{1}{2}}$）．
（1）求直线l的方程（用一般式表示）；
（2）求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），两点在椭圆上，可得x₁²+4y₁²=4，x₂²+4y₂²=4．两式相减，再利用直线l的斜率，中点坐标公式，即可得出．
（2）直线方程与椭圆方程联立，消去y，可得x²-4x=0，利用弦长公式，即可得出结论．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点M（1，$\frac{1}{2}}$）是线段AB的中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=1．
∵此两点在椭圆上，∴x₁²+4y₁²=4，x₂²+4y₂²=4．
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=-$\frac{1}{2}$．
∴直线l的方程为y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），化为x+2y-2=0．
（2）直线方程与椭圆方程联立，消去y，可得x²-4x=0，
∴x=0或4，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}•4$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，正确运用点差法解决中点弦问题是解题的关键，属于中档题．