Question

7．已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^-x，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在m，n∈（2，3），且m≠n，使得f（m）=f（n），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）结合（1）得到f（x）在（0，2-a）递增，在（2-a，+∞）递减，满足条件，从而得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²+ax+a）e^-x，
∴f′（x）=-$\frac{x[x+（a-2）]}{{e}^{x}}$，
①a-2＞0即a＞2时，2-a＜0，
令f′（x）＞0，解得：2-a＜x＜0，
令f′（x）＜0，x＞0或x＜2-a，
∴f（x）在（-∞，2-a）递减，在（2-a，0）递增，在（0，+∞）递减；
②a-2=0即a=2时，f′（x）=-$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$＜0，f（x）在R递减；
③a-2＜0即a＜2时，2-a＞0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2-a，
令f′（x）＜0，x＞2-a或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，在（0，2-a，）递增，在（2-a，+∞）递减；
（2）由（1）得：2＜2-a＜3，解得：-1＜a＜0．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．