Question

10．已知一个空心密闭（表面厚度忽略不计）的正四面体工艺品的棱长为$3\sqrt{6}$，若在该工艺品内嵌入一个可以在其内部任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在一个棱长为$3\sqrt{6}$的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．

解答 解：设球的半径为：r，由正四面体的体积得：
4×$\frac{1}{3}$×r×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$3\sqrt{6}$）²=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$3\sqrt{6}$）²×$\sqrt{（3\sqrt{6}）^{2}-（\frac{2}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}•3\sqrt{6}）^{2}}$，
所以r=$\frac{3}{2}$，
设正方体的最大棱长为a，
∴3a²=9，
∴a=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题是中档题，考查正四面体的内接球的知识，球的内接正方体的棱长的求法，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．