Question

1．已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c的图象为曲线E．
（1）若函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，求此时a，b的值；
（2）若关于x的方程f（x）=0有三个不相等的实根，求实数k的取值范围．
（3）在满足（1）的条件下，f（x）＜2c在x∈[-2，6]恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，则f'（x）=3x²-2ax+b=0有两个解x=-1，x=3，易得a=3，b=-9．
（2）由（1）可得f（-1）f（3）＜0，列出不等式，即可求出c的取值范围；
（3）由（1）得f（x）=x³-3x²-9x+c，根据题意：c＞x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）恒成立，令g（x）=x³-3x²-9x，令g′（x）=0，解得：x=-1，x=3，从而函数g（x）=x³-3x²-9x在[-2，-1）递增，（-1，3）递减，（3，6]递增，求出函数g（x）在x=-1时有极大值5且在端点x=6处的值为54，问题解决．

解答 解：（1）若函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，则f'（x）=3x²-2ax+b=0有两个解x=-1，x=3，易得a=3，b=-9；
（2）由（1）可得f（-1）f（3）＜0，即（-1-3+9+c）（27-27-27+c）＜0
∴-5＜c＜27；
（3）由（1）得f（x）=x³-3x²-9x+c，根据题意：c＞x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）恒成立，∵函数g（x）=x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）在x=-1时有极大值5（用求导的方法）且在端点x=6处的值为54，
∴函数g（x）=x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）的最大值为54，∴c＞54．

点评 本题考察了函数的单调性，极值问题，导数的应用，是一道中档题．