Question

16．已知F₁，F₂为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=l（a＞b＞0）的左、右焦点，B₁，B₂椭圆短轴的端点，四边形F₁B₁，F₂B₂为正方形且面积等于50．
（I）求椭圆方程；
（Ⅱ）过焦点F_l且倾斜角为30°的直线l交椭圆于M，N两点，求△F₂MN内切圆的半径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由四边形F₁B₁F₂B₂为正方形且面积等于50，推导出b=c=5，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）直线l的方程为x=$\sqrt{3}y-5$，代入$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}$=1，得${y}^{2}-2\sqrt{3}y-5=0$，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆定义，结合已知条件能求出△F₂MN内切圆的半径．

解答 解：（Ⅰ）由四边形F₁B₁F₂B₂为正方形且面积等于50，
得$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{\frac{1}{2}×2b×2c=50}\end{array}\right.$，
解得b=c=5．
∴a²=b²+c²=50，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$．
（Ⅱ）过焦点F_l（-5，0），倾斜角为30°的直线l的方程为x=$\sqrt{3}y-5$，
代入$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}$=1，得${y}^{2}-2\sqrt{3}y-5=0$，
$△=（-2\sqrt{3}）^{2}-4×1×（-5）=32＞0$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=2$\sqrt{3}$，y₁y₂=-5，
$（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}=（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}=32$，
|y₁-y₂|=4$\sqrt{2}$，
${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|•|{y}_{1}-{y}_{2}|$=20$\sqrt{2}$，
又${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}（MN+M{F}_{2}+N{F}_{2}）r=2ar=10\sqrt{2}r$，
∴r=2．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形内切圆的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆定义的合理运用．