Question

4．直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）若P为A₁B₁的中点，求证：DP∥平面BCB₁，且DP∥平面ACB₁．

Answer 1

分析 （1）推导出BB₁⊥AC，BC⊥AC，由此能证明 AC⊥平面BB₁C₁C．
（2）推导出DCB₁P为平行四边形，由此能证明DP∥面ACB₁，同理，DP∥面BCB₁．

解答 证明：（1）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AC．…（2分）
又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，
∴AC=$\sqrt{2}$，∠CAB=45°，∴BC=$\sqrt{2}$，∴BC⊥AC．…（5分）
又BB₁∩BC=B，BB₁，BC?平面BB₁C₁C，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．…（7分）
（2）∵由P为A₁B₁的中点，又PB₁∥AB，且PB₁=$\frac{1}{2}$AB．…（9分）
又∵DC‖AB，DC=$\frac{1}{2}$AB，∴DC∥PB₁，且DC=PB₁，…（11分）
∴DCB₁P为平行四边形，从而CB₁∥DP．
又CB₁?面ACB₁，DP?面ACB₁，∴DP∥面ACB₁…（13分）
同理，DP∥面BCB₁．  …（14分）

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面关系的合理运用．