Question

18．已知：S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=n²+n-1
（1）求{a_n}的通项公式a_n
（2）求和：$\frac{1}{{{S_1}+1}}+\frac{1}{{{S_2}+1}}$+…+$\frac{1}{{{S_{2016}}+1}}$．

Answer 1

分析 （1）根据a_n与S_n的关系计算a_n；
（2）使用裂项法求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n-1）-[（n-1）²+（n-1）-1]=2n，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）$\frac{1}{{S}_{n}+1}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{{{S_1}+1}}+\frac{1}{{{S_2}+1}}$+…+$\frac{1}{{{S_{2016}}+1}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，裂项法数列求和，属于中档题．