Question

9．函数f（x）=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f（x）上的点（1，f（1））的切线方程为y=3x+1
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）在[-3，1]上的最大值；
（3）若函数y=f（x）在区间（-∞，1）上单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=x³+ax²+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x=-2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式．
（2）先求函数的导数f'（x），通过f'（x）＞0，及f'（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的极值即可．
（3）函数y=f（x）在区间（-∞，1）上单调递增，可得3x²-bx+b≥0在区间（-∞，1）上恒成立，从而b≥$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$在区间（-∞，1）上恒成立，由此可求b的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c求导数得f'（x）=3x²+2ax+b
过y=f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y-f（1）=f'（1）（x-1），
即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1）
故$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{a+b+c=3}\end{array}\right.$，
∵有y=f（x）在x=-2时有极值，故f′（-2）=0，
∴-4a+b=-12
联立解得a=2，b=-4，c=5．
则f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）f'（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）
∴函数在（-3，-2）上单调递增，（-2，$\frac{2}{3}$）上单调递减，（$\frac{2}{3}$，1）上单调递增，
∴f（x）_极大=f（-2）=（-2）³+2（-2）²-4（-2）+5=13f（1）=1³+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{a+b+c=3}\end{array}\right.$，可得a=-$\frac{b}{2}$，
∴f'（x）=3x²+2ax+b=3x²-bx+b，
∵函数y=f（x）在区间（-∞，1）上单调递增，
∴3x²-bx+b≥0在区间（-∞，1）上恒成立，
∴b≥$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$在区间（-∞，1）上恒成立，
令y=$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$，则y′=$\frac{3x（x-2）}{（x-1）^{2}}$，
∴x＜0时，y′＞0，0＜x＜1时，y′＜0，
∴x=0时，函数取得极大值，也是最大值0，
∴b≥0．

点评 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．