Question

【题目】已知椭圆：()的离心率，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同的交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）椭圆上不存在这样的点，理由见解析

【解析】

（1）利用离心率、上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线相切，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）设设直线的方程为，设，，，，的中点为，联立方程组，运用根与系数的关系及中点坐标公式，得到D为线段MN的中点，即D为线段PQ的中点，即可求解.

（1）由椭圆：()的离心率，得，可得.

上顶点为，右焦点为，

可得以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为与直线相切，所以，即，解得，

所以，∴椭圆的标准方程为.

（2）椭圆上不存在这样的点，理由如下：

设直线的方程为，

设，，，，的中点为，

由消去，得，

所以，且，故，且，

由，得，

所以有，.

(也可由知四边形为平行四边形，而为线段的中点，

因此也为线段的中点，所以，可得）

又，所以，

与椭圆上点的纵坐标的取值范围是矛盾，故椭圆上不存在这样的点.