(1)设{an}是集合{2s+2t|0≤s<t且s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,…将数列{an}各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表:
3
5 6
9 10 12
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…
①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;
②求a100
(2)设{bn}是集合{2r+2s+2t|0≤r<s<t,且r,s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,已知bk=1160,求k.
分析:(1)①用(t,s)表示2t+2s,先利用前几个数找到其规律,是每一个的横坐标从0增加到对应的行数,而纵坐标为行数,就可求出第四行、第五行各数;
②解法一:因为100=(1+2+3+4++13)+9,所以可以知道a100位于第14行第8列,即可求出a100.
解法二:直接把设a100=2s0+2t0,再利用条件确定对应的正整数s0,t0即可.
(2)利用上面的结论可以快速找到{bn}的规律,再结合组合数对其求解即可.
解答:(1)解:用(t,s)表示2
t+2
s,下表的规律为
3(0,1)
5(0,2) 6(1,2)
9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)
①第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)
第五行33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)
②解法一:因为100=(1+2+3+4+…+13)+9,所以a
100=(8,14)=2
8+2
14=16640
解法二:设a
100=2
s0+2
t0,只须确定正整数s
0,t
0.
数列{a
n}中小于2
t0的项构成的子集为{2
t+2
s|0≤s<t<t
0},
其元素个数为
=,依题意
<100.
满足等式的最大整数t
0为14,所以取t
0=14.
因为100-C
142=s
0+1,由此解得s
0=8,
∴a
100=2
14+2
8=16640.
(2)解:b
k=1160=2
10+2
7+2
3,
令M={c∈B|C<1160}(其中,B={2
r+2
s+2
t|0≤r<s<t})
因M={c∈B|c<2
10}∪{c∈B|2
10<c<2
10+2
7}∪{c∈B|2
10+2
7<c<2
10+2
7+2
3}.
现在求M的元素个数:{c∈B|c<2
10}={2
r&+2
s+2
t|0≤r<s<t<10},
其元素个数为C
103:{c∈B|2
10<c<2
10+2
7}={2
10&+2
s+2
r|0≤r<s<7}.
某元素个数为C
72:{c∈B|2
10+2
7<c<2
10+2
7+2
3}={2
10+2
7+2
r|0≤r<3}
某元素个数为C
107:k=C
103+C
72+C
32+1=145.
另法:规定2
r+2
t+2
s=(r,t,s),b
k=1160=2
10+2
7+2
3=(3,7,10)
则b
1=2
0+2
1+2
2=(0,1,2)C
22依次为(0,1,3) (0,2,3) (1,2,3) C
32(0,1,4) (0,2,4) (1,2,4) (0,3,4) (1,3,4) (2,3,4) C
42(0,1,9) (0,2,9)(6,8,9) (7,8,9)C
92(0,1,10) (0,2,10)(0,7,10) (1,7,10) (2,7,10) (3,7,10) C
72+4
k=(C
22+C
32++C
92)+C
72+4=145.
点评:本题考查数列的应用是数列这一块的难题,适合做压轴题.