Question

已知函数f（x）=3^x，且f（a+2）=27，g（x）=2^ax-4^x的定义域为区间[-1，1]，求
（1）g（x）的解析式；
（2）若g（x）在[-1，1]上值域为A，且A⊆[m-4，3m-2]，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域,集合的包含关系判断及应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,集合

分析：（1）由函数解析式求出f（a+2），这样便可建立关于a的方程，解方程即得a．
（2）将g（x）变成：g（x）=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，根据x的范围求2^x的范围，这样根据2^x的取值即可求得g（x）值域A，然后根据A⊆[m-4，3m-2]，即可求出m的取值范围．

解答： 解：（1）f（a+2）=3^a+2=27；
∴a=1；
∴g（x）=2^x-4^x；
（2）g（x）=2x-22x=-(2x-

1

2

)2+

1

4

；
∵x∈[-1，1]，∴2^x∈[

1

2

，2]；
∴2x=

1

2

时g（x）取最大值

1

4

，2^x=2时g（x）取最小值-2；
∴g（x）在[-1，1]上的值域是A=[-2，

1

4

]．
∵A⊆[m-4，3m-2]；

-2≥m-4 1≤3m-2 3m-2＞m-4

，解得1≤m≤2．
∴m的取值范围是[1，2]．

点评：考查求函数值，根据指数函数的单调性求2^x的范围，通过配方求二次函数值域的方法，子集的概念．