Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2

3

，离心率为

2

2

，其右焦点为F，点A（0，-b）、B（0，b）．
（Ⅰ）求椭圆C₁方程及△ABF外接圆的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）且斜率为k的直线与椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

3

相交于两点G、H，设P为椭圆C₂上一点，当|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

时，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意知：c=

3

，e=

c

a

=

2

2

，由此能求出椭圆C的方程；从而得：A(0，-

3

)，B(0，

3

)，F(

3

，0)，由此能求出△ABF外接圆方程．
（Ⅱ）设GH：y=k（x-2），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），P（x，y），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理能求出，结合已知条件能求出实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知：c=

3

，e=

c

a

=

2

2

，又a²-b²=c²，
解得：a=

6

，b=

3

，
∴椭圆C的方程为：

x2

6

+

y2

3

=1，…2分
可得：A(0，-

3

)，B(0，

3

)，F(

3

，0)，…4分
而|OA|=|OB|=|OF|=

3

，
∴△ABF外接圆是以O为圆心，

3

为半径的圆，
∴△ABF外接圆方程是  x²+y²=3．…6分
（Ⅱ）由题意可知直线GH的斜率存在．
设GH：y=k（x-2），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），P（x，y）
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，…7分
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，得：k²＜

1

2

（*）…8分
x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

…9分
∵|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

，∴|

HG

|＜

2 5

3

，
即

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

，
∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴k²＞

1

4

，结合（*）得：

1

4

＜k2＜

1

2

，…11分
∴-

2

2

＜t＜-

1

2

，或 

1

2

＜t＜

2

2

．…12分．

点评：本题考查椭圆方程和圆的方程的求法，考查实数k的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．