Question

已知函数f（x）=

2x+1

2x-1

．
（Ⅰ）当x∈（0，+∞）时，判断函数f（x）的单调性，并证之；
（Ⅱ）设F（x）=xf（x），讨论函数F（x）的奇偶性，并证明：F（x）＞0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（I）利用单调性的定义即可证明；
（II）利用偶函数的定义即可判断出；再利用单调性即可得出值域．

解答： 解：（Ⅰ）当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递减；
证明：f(x)=1+

2

2x-1

，设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则1＜2x1＜2x2⇒2x2-2x1＞0，2x1-1＞0，2x2-1＞0，∴f(x1)-f(x2)=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递减；
（Ⅱ）F（x）的定义域为{x|x≠0}，
∵F(-x)=-x•

2-x+1

2-x-1

=-x•

1+2x

1-2x

=x•

2x+1

2x-1

=F(x)，
∴F（x）为偶函数，
当x＞0时，2^x＞1⇒2^x-1＞0，F(x)=x•

2x+1

2x-1

＞0，
又F（x）为偶函数，∴当x＜0时，-x＞0，F（x）=F（-x）＞0，
综上：F（x）＞0．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．