Question

已知函数f（x）=ax³-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）的极小值为1，求a的值．
（2）若对任意x∈（0，1]，都有|f（x）|≥1成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3ax2-

1

x

=

3ax3-1

x

，x＞0，由此利用导数性质结合已知条件能求出a=

1

3

e2．
（2）要使|f（x）|≥1恒成立，则f（x）的极小值大于或等于1成立，由此利用导数性质能注出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³-lnx，∴f′（x）=3ax2-

1

x

=

3ax3-1

x

，x＞0，
当a≤0时，f′(x)=

3ax3-1

x

＜0，
f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，不存在极小值．
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=

3	1 3a

，
x∈（0，

3	1 3a

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（

3	1 3a

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴x=

3	1 3a

是函数f（x）的极小值点，
f（x）的极小值为f（

3	1 3a

）=

1

3

+

1

3

ln(3a)=1，
解得a=

1

3

e2．
（2）由（1）知，当a≤1时，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，
且f（x）在x=0附近趋于无穷大，而f（1）=a≤0，
由零点存在定理知f（x）在（0，1]内存在一个零点，
|f（x）|≥1不恒成立．
当a＞0时，若|f（x）|≥1恒成立，则|f（1）|≥1，即a≥1，
结合（1）知a≥1时，函数f（x）在（0，1]内先减后增，
要使|f（x）|≥1恒成立，则f（x）的极小值大于或等于1成立，
∴

a≥1 f( 3 1 3a )= 1 3 + 1 3 ln(3a)≥1

，
解得a≥

1

3

e2，
综上，a的取值范围是[

1

3

e2，+∞）．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查函数的最值．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．