Question

设F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，椭圆上的点A（1，

3

2

）到F₁，F₂两点的距离之和等于4，求：
①写出椭圆C的方程和焦点的坐标；
②过F₁且倾斜角为30°的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF₂的周长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：①由已知得2a=4，

12

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，由此能求出椭圆C的方程和焦点坐标．
②由椭圆定义知△ABF₂的周长=4a，由此能求出结果．

解答： 解：①椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，
又点A（1，

3

2

）在椭圆上，
因此

12

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，得b²=1，于是c²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1，焦点F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）．
②∵椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1，∴a=2，
∵过F₁且倾斜角为30°的直线交椭圆于A，B两点，
∴△ABF₂的周长=4a=8．

点评：本题考查椭圆方程和焦点坐标的求法，考查三角形周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的合理运用．