Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

3

2

x²+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b值；
（2）若当x∈[-1，

9

4

]，f（x）＜c²-

7

6

恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）先对函数进行求导，然后根据f'（1）=0求出b的值；
（2）先求函数在区间上的最小值，再转化为解不等式即可．

解答： 解：（1）因为f（x）=

1

3

x³-

3

2

x²+bx+c，
所以f′（x）=x²-3x+b．…（2分）
因为f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=1-3+b=0．解得b=2．…（4分）
（2）因为f（x）=

1

3

x³-

3

2

x²+2x+c，．所以f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2	（2， 9 4 ）	9 4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 23 6 +c	单调递增	5 6 +c	单调递减	2 3 +c	单调递增	45 64 +c

因此当x=1时，f（x）有极大值

5

6

+c．…（6分）
又f（

9

4

）=

45

64

+c＜

5

6

+c，f（-1）=-

23

6

+c＜

5

6

+c，
∴x∈[-1，

9

4

]时，f（x）最大值为f（1）=

5

6

+c．…（7分）
∴c2-

7

6

＞

5

6

+c．∴c＜-1或c＞2．…（8分）

点评：本题主要考查函数的极值与其导函数之间的关系以及函数在闭区间上最值的求法．导数是高考的热点问题，每年必考要给予充分的重视．