Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点．
（1）求证：A₁B₁∥平面ABE；
（2）若正方体的棱长为1，求三棱锥B₁-ABE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由A₁B₁∥AB，能证明A₁B₁∥平面ABE．
（2）由VB1-ABE=VA-BEB1，利用等积法能求出三棱锥B₁-ABE的体积．

解答： （1）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁B₁∥AB，AB?平面ABE，A₁B₁不包含于平面ABE，
∴A₁B₁∥平面ABE．
（2）解：∵正方体的棱长为1，
∴三棱锥B₁-ABE的体积：
VB1-ABE=VA-BEB1
=

1

3

S△BEB1•AB
=

1

3

（1-S_△BCE-S△BEC1）×1
=

1

3

(1-

1

2

×

1

2

×1-

1

2

×

1

2

×1)
=

1

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的求法．