Question

设函数f（x）=x（e^x-1）+ax²
（Ⅰ）当a=-

1

2

时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=-

1

2

时，f(x)=x(ex-1)-

1

2

x2，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）f（x）=x（e^x-1）+ax²=x（e^x-1+ax），令g（x）=（e^x-1+ax），x∈[0，+∞），由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=-

1

2

时，f(x)=x(ex-1)-

1

2

x2，
f'（x）=（e^x-1）+xe^x-x=（x+1）（e^x-1）…（2分）
令f'（x）＞0，得x＜-1或x＞0；
令f'（x）＜0，得-1＜x＜0
所以f（x）的单增区间为（-∞，-1），（0，+∞）；单减区间为（-1，0）．…（5分）
（2）f（x）=x（e^x-1）+ax²=x（e^x-1+ax），
令g（x）=（e^x-1+ax），x∈[0，+∞），
g'（x）=e^x+a，g（0）=0…（7分）
当a≥-1时，g'（x）=e^x+a＞0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，
而g（0）=0，从而当x≥0时，f（x）≥0恒成立．…（9分）
当a＜-1时，令g'（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a）．
当x∈（0，ln（-a））时，g'（x）＜0，
g（x）在（0，ln（-a））上是减函数，
而g（0）=0，从而当x∈（0，ln（-a））时，g（x）＜0，即f（x）＜0
综上，a的取值范围是[-1，+∞）…（12分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．