Question

已知函数f（x）=x³-3x
（1）求函数在[-1，1]上的最值；
（2）求曲线y=f（x）在点（-1，2）处的切线方程l；
（3）求由切线l，曲线f（x）=x³-3x，x=1围成的面积．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-3，由此利用导数性质能求出函数在[-1，1]上的最大值和最小值．
（2）由k=f′（-1）=3-3=0，利用导数的几何意义能求出曲线y=f（x）在点（-1，2）处的切线方程．（3）由切线l，曲线f（x）=x³-3x，x=1围成的面积S=

∫

1 -1

(2-x3+3x)dx，由此能求出结果．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3， 由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=-1，
∵f（-1）=1-（-3）=4，f（1）=1-3=-2，
∴函数在[-1，1]上的最大值为4，最小值为-2．
（2）∵k=f′（-1）=3-3=0，
∴曲线y=f（x）在点（-1，2）处的切线方程l：
y-2=0．
（3）由切线l：y=2，曲线f（x）=x³-3x，x=1围成的图形如右图：
∴由切线l，曲线f（x）=x³-3x，x=1围成的面积：
S=

∫

1 -1

(2-x3+3x)dx=（2x-

1

4

x4+

3

2

x2）

|

1 -1

=（2-

1

4

+

3

2

）-（-2-

1

4

+

3

2

）
=4．

点评：本题考查函数最值的求法，考查切线方程的求法，考查曲线围成图形面积的求法，解题时要认真审题，注意定积分的合理运用．