Question

已知函数f（x）=ax³-bx²+9x+2，若x=

1

2

是f（x）的一个极值，且f（x）在x=1处的切线的斜率是-3．
（1）求f（x）的解析式
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意的x∈[

1

4

，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函数g（t）=t²+t-2的最值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出f′（x）=3ax²-2bx+9，由题意得f′（

1

2

）=0，f′（1）=-3，求出a，b即可；
（2）求出导数，令它大于0，得增区间，令小于0，得减区间；
（3）求出f（x）在[

1

4

，2]上的最小值为2，由恒成立思想得到t²-2t-1≤2，求出t的范围，由二次函数在闭区间上的最值，即可得到最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²-2bx+9，
由题意可得

f′( 1 2 )= 3 4 a-b+9=0 f′(1)=3a-2b+9=-3

   解得

a=4 b=12

，
故f（x）=4x³-12x²+9x+2，
（2）f′（x）=12x²-24x+9，
由f′（x）=0得：x=

1

2

或

3

2

，由f′（x）＞0，得：x＞

3

2

或x＜

1

2

，由f′（x）＜0得：

1

2

＜x＜

3

2

，
故f（x）的单调增区间为（

3

2

，+∞），（-∞，

1

2

），f（x）的单调减区间为（

1

2

，

3

2

）；
（3）由（2）可知f（x）的极小值为f（

3

2

）=2，
又f（

1

4

）=

57

16

，f（2）=4，
∴f（x）在[

1

4

，2]上的最小值为2，
由f（x）≥t²-2t-1对x∈[

1

4

，2]恒成立，则t²-2t-1≤2，即t²-2t-3≤0，
解得-1≤t≤3，
而g（t）=t²+t-2=（t+

1

2

）²-

9

4

，
故当t=-

1

2

时，g（t）最小值为-

9

4

，当t=3，g（t）最大值为10．

点评：本题考查导数在函数中的运用：求切线方程、求单调区间、求极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求最值问题，属于中档题．