Question

（2010•广东模拟）已知数列{a_n}的首项为a₁=3，点（a_n，a_n+1）在直线3x-y=0（n∈N^*）上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求f'（1）的值，并化简．

Answer 1

分析：（1）通过点在直线上，求出a_n与a_n+1的关系，判断数列是等比数列，然后求数列{a_n}的通项公式；
（2）若f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求出函数的导数，然后直接求出f′（1）的值，利用错位相减法求出值即可．

解答：解：（1）由已知有3a_n-a_n+1=0⇒

an+1

an

=3，所以数列{a_n}为等比数列，…（4分）
a_n=a₁•3^n-1=3ⁿ（n∈N^*），…（6分）
（2）f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
则f′（x）=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+na_nx^n-1，
则f′（1）=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ…①
3f′（1）=3•3+2•3²•3+3•3³•3+…+n•3ⁿ•3
即3f′（1）=3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹…②…（8分）
①-②得-2f′（1）=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
⇒-2f′(1)=

3(3n-1)

3-1

-n•3n+1⇒f′(1)=-

3(3n-1)

4

+

n

2

•3n+1
⇒f′(1)=

(2n-1)3n+1

4

+

3

4

…（14分）

点评：本题是中档题，考查数列与函数的关系，通项公式的求法，错位相减法的应用，考查计算能力．