Question

已知点P在椭圆

x2

45

+

y2

20

=1上，F₁，F₂是椭圆的焦点，若∠F₁PF₂为钝角，则P点的横坐标的取值范围是

（-3，3）

．

Answer 1

分析：根据椭圆方程，可得a²=45，b²=20，所以c=

a2-b2

=5，得椭圆的焦点坐标为F₁（-5，0），F₂（5，0）．然后设P（x，y），可得

PF1

=（-5-x，-y），

PF2

=（5-x，-y），根据∠F₁PF₂为钝角，得到

PF1

•

PF2

＜0，代入坐标得x²-25+y²＜0．因为点P在椭圆

x2

45

+

y2

20

=1上，得到y²=20（1-

x2

45

），代入不等式，解之即可得到正确答案．

解答：解：∵椭圆方程为

x2

45

+

y2

20

=1，
∴a²=45，b²=20，可得c=

a2-b2

=5，
因此椭圆的焦点坐标为F₁（-5，0），F₂（5，0），
设P（x，y），可得

PF1

=（-5-x，-y），

PF2

=（5-x，-y），
∵∠F₁PF₂为钝角，
∴

PF1

•

PF2

＜0，即（-5-x）×（5-x）+（-y）×（-y）＜0
∴x²-25+y²＜0…（*），
∵点P在椭圆

x2

45

+

y2

20

=1上，
∴y²=20（1-

x2

45

），代入（*）式得：x²-25+20（1-

x2

45

）＜0，
∴x²-5-

4

9

x²＜0，解之得x∈（-3，3）．
故答案为：（-3，3）

点评：本题给出椭圆上一点到两个焦点的张角为钝角，求该点的横坐标的取值范围．着重考查了椭圆的基本概念和向量的数量积等知识点，属于中档题．