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已知f(x)=|ax+1|(a∈R)|,
(1)a=2时解不等式f(x)≤3;
(2)若|f(x)-2f(
x
2
)|≤k
恒成立,求k的取值范围.
(1)∵a=2时解不等式f(x)≤3化为|2x+1|≤3,
∴-3≤2x+1≤3,
∴-2≤x≤1.
∴解不等式f(x)≤3的解集为[-2,1].
(2)令g(x)=|f(x)-2f(
x
2
)|
=||ax+1|-2|
a
2
x+1||
=||ax+1|-|ax+2||,
|f(x)-2f(
x
2
)|≤k
,只需k≥g(x)max
g(x)=||ax+1|-|ax+2||≤|(ax+1)-(ax+2)|=1,
∴g(x)的最大值为1.
故k的取值范围是[1,+∞).
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