Question

设函数f（x）=ax+2，g（x）=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0．是否存在负数a，使f（x）≤g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：设函数h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a²x²（x＞0）
假设存在负数a，使得f（x）≤g（x）对一切正数x都成立．
即：当x＞0时，h（x）的最大值小于等于零．
（9分）
令h′（x）=0可得：（舍）（11分）
当时，h′（x）＞0，h（x）单增；
当时，h′（x）＜0，h（x）单减，
所以h（x）在处有极大值，也是最大值．
∴解得：（13分）
所以负数a存在，它的取值范围为（14分）
分析：对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在负数a，使得f（x）≤g（x）对一切正数x都成立，再设函数h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a²x²（x＞0），利用导数研究函数h（x）的最大值，最后利用最大值小于等于0解出a的范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的极值、导数的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．