Question

（2013•肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：
①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；
②对任意a∈R，a⊕0=a；
③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）-2c．
函数f（x）=x⊕

1

x

（x＞0）的最小值为（　　）

• A．4
• B．3
• C．2

  2

• D．1

Answer 1

分析：根据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x⊕

1

x

）⊕0=1+x+

1

x

，利用基本不等式求最值可得x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．

解答：解：根据题意，得
f（x）=x⊕

1

x

=（x⊕

1

x

）⊕0=0⊕（x•

1

x

）+（x⊕0）+（

1

x

⊕0 ）-2×0=1+x+

1

x

即f（x）=1+x+

1

x

∵x＞0，可得x+

1

x

≥2，当且仅当x=

1

x

=1，即x=1时等号成立
∴1+x+

1

x

≥2+1=3，可得函数f（x）=x⊕

1

x

（x＞0）的最小值为f（1）=3
故选：B

点评：本题给出新定义，求函数f（x）的最小值．着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和简单的合情推理等知识，属于中档题．