Question

16．圆柱的轴截面是一个对角线长为2的矩形，则该圆柱表面积的最大值是（　　）

• A． 3π
• B． （2+$\sqrt{2}$）π
• C． （1+$\sqrt{5}$）π
• D． 4π

Answer 1

分析 设圆柱底面直径和母线长分别为2a，b，求出底面半径，代入圆柱表面积公式，利用导数可得答案．

解答 解：设圆柱底面直径和母线长分别为2a，b，
∴4a²+b²=4，
设a=cosα，b=2sinα（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
∴圆柱的表面积S=2πa（b+a）=2π×cosα（2sinα+cosα），
∴S′=2π（2cos2α-sin2α），
∴tan2α=2时，S取得最大值，此时sin2α=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cos2α=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴S=2π×cosα（2sinα+cosα）=2π（sin2α+$\frac{cos2α+1}{2}$）=（1+$\sqrt{5}$）π，
故选：C

点评 本题考查的知识点是旋转体的表面积，熟练掌握圆柱的表面积公式，正确求导是解答的关键．