Question

11．已知集合A={x|y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$}，函数f（x）满足：①函数f（x）的定义域为A；②函数f（x）的图象关于原点对称；③当x∈[-2，0）时，f（x）=-（$\frac{1}{2}$）^x+1．若|f（x）|≤n恒成立，则实数n的取值范围是[3，+∞）．

Answer 1

分析 求函数y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的定义域化简A，可得f（x）的定义域，再求出x∈（0，2]的函数f（x）的解析式，求得分段函数f（x）的值域，结合|f（x）|≤n恒成立，求得实数n的取值范围．

解答 解：由①可得f（x）的定义域为集合A={x|y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$}=[-2，2]，
由②可得f（x）为奇函数，故有f（0）=0．
设x∈（0，2]，则-x∈[-2，0），
由③可得f（-x）=-（$\frac{1}{2}$）^-x+1=-f（x），
∴f（x）=（$\frac{1}{2}$）^-x-1．．
综上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（\frac{1}{2}）^{x}+1，-2≤x≤0}\\{0，x=0}\\{（\frac{1}{2}）^{-x}-1，0＜x≤2}\end{array}\right.$，
故f（x）在R上是减函数，且f（x）∈[-3，3]．
∵|f（x）|≤n恒成立，∴n≥3．
故答案为：[3，+∞）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性，函数的定义域和值域，分段函数的应用，二次函数的性质，属于中档题．