Question

4．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知$AB=AC=A{A_1}=\sqrt{5}，BC=4$，点A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）证明：在侧棱AA₁上存在一点E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的长；
（2）求三棱柱ABC-A₁B₁C的侧面积．

Answer 1

分析 （1）连接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，证明得OE⊥BB₁，A₁O⊥BC，推出AO⊥BC，然后证明BC⊥平面AA₁O，推出BC⊥OE，证明OE⊥平面BB₁C₁C，然后求解AE即可．
（2）连接BE，EC，OE⊥平面BB₁C₁C，可得AA₁⊥平面EBC，然后求解三棱柱ABC-A₁B₁C的侧面积．

解答 （1）证明：连接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，因为AA₁∥BB₁，
得OE⊥BB₁，因为A₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC，
因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA₁O，
所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB₁C₁C，
又$AO=\sqrt{A{B^2}-B{O^2}}=1，A{A_1}=\sqrt{5}$，得$AE=\frac{{A{O^2}}}{{A{A_1}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（5分）
（2）解：由（1）连接BE，EC，OE⊥平面BB₁C₁C，可得AA₁⊥平面EBC，
∴EB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{5-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
三棱柱ABC-A₁B₁C的侧面积：2×$\frac{2\sqrt{30}}{5}$×$\sqrt{5}$+4×$\sqrt{5}$=$4（{\sqrt{5}+\sqrt{6}}）$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，棱柱的侧面积的求法，考查计算能力以及空间想象能力．