Question

9．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x+2}\\{\frac{x}{4}+\frac{y}{4}≤1}\\{y≥2-\frac{x}{2}}\end{array}\right.$，则z=（$\frac{1}{2}$）^2x-y的最小值为$\frac{1}{256}$．

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，m=2x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值，然后求解z=（$\frac{1}{2}$）^2x-y的最小值．

解答 解：实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x+2}\\{\frac{x}{4}+\frac{y}{4}≤1}\\{y≥2-\frac{x}{2}}\end{array}\right.$表示的平面区域如图所示，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{2y=4-x}\end{array}\right.$解得C（4，0）
当直线m=2x-y过点C时，
在y轴上截距最小，此时m取得最大值8．
则z=（$\frac{1}{2}$）^2x-y的最小值为：$\frac{1}{{2}^{8}}$=$\frac{1}{256}$．
故答案为：$\frac{1}{256}$．

点评 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．