Question

14．已知数列{a_n}满足：a₁=4，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$a_n+4+$\frac{4}{n}$（n∈N^*），则a_n=5n²+n-2．

Answer 1

分析 a₁=4，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$a_n+4+$\frac{4}{n}$（n∈N^*），$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）（n+2）}$-$\frac{{a}_{n}}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和“即可得出．

解答 解：∵a₁=4，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$a_n+4+$\frac{4}{n}$（n∈N^*），∴$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）（n+2）}$-$\frac{{a}_{n}}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴$\frac{{a}_{n}}{n（n+1）}$=2$[（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n-1}）$+…+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（1-\frac{1}{3}）]$+2
=2$（\frac{3}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$+2=5-$\frac{2（2n+1）}{n（n+1）}$．
∴a_n=5n（n+1）-（4n+2）=5n²+n-2．
故答案为：5n²+n-2．

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和“方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．