Question

3．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB、BB₁的中点，AB=BC．
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）连结AC₁，交A₁C点O，连DO，推出OD∥BC₁，即可证明BC₁∥平面A₁CD．
（2）取AC的中点F，连结EO，OF，FB，证明四边形BEOF是平行四边形，证明BF⊥AC，BF⊥CC₁，得到BF⊥平面ACC₁A₁，然后证明平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

解答 解：（1）连结AC₁，交A₁C点O，连DO，则O是AC₁的中点，
因为D是AB的中点，故OD∥BC₁…（2分）
因为OD?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD…（3分）
所以BC₁∥平面A₁CD…（4分）
（2）取AC的中点F，连结EO，OF，FB，
因为O是AC₁的中点，
故OF∥AA₁且$OF=\frac{1}{2}$AA₁…（5分）
显然BE∥AA₁且$BE=\frac{1}{2}$AA₁
所以OF∥BE且OF=BE…（6分）
则四边形BEOF是平行四边形…（7分）
所以EO∥BF…（8分）
因为AB=BC
所以BF⊥AC…（9分）
又BF⊥CC₁
所以直线BF⊥平面ACC₁A₁…（10分）
因为EO∥BF
所以直线EO⊥平面ACC₁A₁…（11分）
所以平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查逻辑推理能力．