Question

13．如图：椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F₁、F₂，它们在y轴右侧有两个交点A、B，满足$\overrightarrow{{F_2}A}+\overrightarrow{{F_2}B}$=0．将直线AB左侧的椭圆部分（含A，B两点）记为曲线W₁，直线AB右侧的双曲线部分（不含A，B两点）记为曲线W₂．以F₁为端点作一条射线，分别交W₁于点P（x_P，y_P），交W₂于点M（x_M，y_M）（点M在第一象限），设此时$\overrightarrow{{F_1}M}=m•\overrightarrow{{F_1}P}$．
（1）求W₂的方程；
（2）证明：x_P=$\frac{1}{m}$，并探索直线MF₂与PF₂斜率之间的关系；
（3）设直线MF₂交W₁于点N，求△MF₁N的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件，得F₂（1，0），根据$\overrightarrow{{F_2}A}+\overrightarrow{{F_2}B}=\overrightarrow 0$知，F₂、A、B三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于x轴对称，故AB所在直线为x=1，从而得A，B坐标．可得$\frac{1}{a^2}-\frac{1}{{2{b^2}}}=1$，又因为F₂为双曲线的焦点，可得a²+b²=1，解出即可得出．
（2）由P（x_P，y_P）M（x_M，y_M），得$\overrightarrow{{F_1}P}=（{x_P}+1，{y_P}）$，$\overrightarrow{{F_1}M}=（{x_M}+1，{y_M}）$，利用$\overrightarrow{{F_1}M}=m•\overrightarrow{{F_1}P}$．可得x_M，y_M．由P（x_P，y_P），M（x_M，y_M）分别在曲线W₁和W₂上，代入消去y_P得：$3{m^2}{x_P}^2+4m（m-1）{x_P}+1-4m=0$（*），将$\frac{1}{m}$代入方程（*），可得x_P．从而得到P点坐标．再利用斜率计算公式即可证明．
（3）由（2）知直线PF₂与NF₂关于x轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点N关于x轴对称，可得N坐标．可得$S=\frac{1}{2}×|{F_1}{F_2}|（|{y_M}|+|{y_N}|）$，即可得出．

解答 解：（1）由条件，得F₂（1，0），根据$\overrightarrow{{F_2}A}+\overrightarrow{{F_2}B}=\overrightarrow 0$知，F₂、A、B三点共线，
且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于x轴对称，
故AB所在直线为x=1，从而得$A（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，$B（1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．
所以，$\frac{1}{a^2}-\frac{1}{{2{b^2}}}=1$，又因为F₂为双曲线的焦点，所以a²+b²=1，
解得${a^2}={b^2}=\frac{1}{2}$．
因此，W₂的方程为$\frac{x^2}{{\frac{1}{2}}}-\frac{y^2}{{\frac{1}{2}}}=1（x＞1）$．
（2）证明：由P（x_P，y_P）M（x_M，y_M），得$\overrightarrow{{F_1}P}=（{x_P}+1，{y_P}）$，$\overrightarrow{{F_1}M}=（{x_M}+1，{y_M}）$，
由条件，得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_M}+1=m（{x_P}+1）}\\{{y_M}=m{y_P}}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{{x_M}=m{x_P}+m-1}\\{{y_M}=m{y_P}}\end{array}}\right.$，
由P（x_P，y_P）M（x_M，y_M）分别在曲线W₁和W₂上，有，$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{x_P}^2}}{2}+{y_P}^2=1}\\{2{{（m{x_P}+m-1）}^2}-2{{（m{y_P}）}^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y_P，得，$3{m^2}{x_P}^2+4m（m-1）{x_P}+1-4m=0$（*），
将$\frac{1}{m}$代入方程（*），成立，因此（*）有一根${x_P}=\frac{1}{m}$，结合韦达定理得另一根为${x_P}=\frac{1-4m}{3m}$，因为m＞1，所以${x_P}=\frac{1-4m}{3m}＜-1$，舍去．
所以，${x_P}=\frac{1}{m}$．
从而P点坐标为$（\frac{1}{m}，\frac{{\sqrt{{m^2}-\frac{1}{2}}}}{m}）$．
所以，直线PF₂的斜率${k_{P{F_2}}}=\frac{{\sqrt{{m^2}-\frac{1}{2}}}}{1-m}$，
由x_M=mx_P+m-1=m，得$M（m，\sqrt{{m^2}-\frac{1}{2}}）$．
所以，直线MF₂的斜率${k_{M{F_2}}}=\frac{{\sqrt{{m^2}-\frac{1}{2}}}}{m-1}$．
因此，MF₂与PF₂斜率之和为零．
（3）由（2）知直线PF₂与NF₂关于x轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点N关于x轴对称，故$N（\frac{1}{m}，\frac{1}{m}\sqrt{{m^2}-\frac{1}{2}}）$，
因此，$S=\frac{1}{2}×|{F_1}{F_2}|（|{y_M}|+|{y_N}|）$=$\frac{1}{2}×2（\sqrt{{m^2}-\frac{1}{2}}+\frac{1}{m}\sqrt{{m^2}-\frac{1}{2}}）$，=$\sqrt{{m^2}-\frac{1}{2}}+\sqrt{1-\frac{1}{{2{m^2}}}}$，
因为S在（1，+∞）上单调递增，
所以S的取值范围是$（\sqrt{2}，+∞）$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．