Question

1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cosB），$\overrightarrow{n}$=（b+2c，a），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4$\sqrt{3}$，b+c=8，求AC边上的高h的大小．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$时$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，由正弦定理与两角和的正弦公式、内角和定理求出cosA=-$\frac{1}{2}$，即可求得A的值；
（2）由余弦定理和已知条件求出b=c=4，再求AC边上的高h．

解答 解：（1）△ABC中，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cosB），$\overrightarrow{n}$=（b+2c，a），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（b+2c）cosA+acosB=0，
由正弦定理得（sinB+2sinC）cosA+sinAcosB=0，
∴sinBcosA+cosBsinA+2sinCcosA=0，
∴sin（A+B）+2sinCcosA=0，
即sinC+2sinCcosA=0；
又C∈（0，π），∴sinC≠0，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$；
又A∈（0，π），∴A=$\frac{2π}{3}$；
（2）若a=4$\sqrt{3}$，b+c=8，
∴a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2bccos$\frac{2π}{3}$=b²+c²+bc=48；
又（b+c）²=b²+c²+2bc=64，
∴bc=16；
解得b=c=4，
∴AC边上的高为h=4•sin（π-$\frac{2π}{3}$）=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量数量积与解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是综合题．