Question

6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若${S_n}=1-\frac{2}{3}{a_n}$（n∈N^*），则$\lim_{n→∞}{S_n}$=1．

Answer 1

分析 利用数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质即可得出．

解答 解：∵${S_n}=1-\frac{2}{3}{a_n}$（n∈N^*），∴n=1时，${a}_{1}=1-\frac{2}{3}{a}_{1}$，解得a₁=$\frac{3}{5}$．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1-$\frac{2}{3}{a}_{n}$-$（1-\frac{2}{3}{a}_{n-1}）$，化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{5}$．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{3}{5}$，公比为$\frac{2}{5}$．
∴$\lim_{n→∞}{S_n}$=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．