Question

15．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（sinC-sinA，sinC-sinB）与$\overrightarrow{n}$=（b+c，a）共线．
（I）求角B的大小；
（II）若b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）平面向量的共线定理以及正弦、余弦定理，求出B的值；
（II）由正弦定理求出sinC、再由平方关系求出cosC，利用三角形内角和定理求出sinA，再计算△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，向量$\overrightarrow{m}$=（sinC-sinA，sinC-sinB）与$\overrightarrow{n}$=（b+c，a）共线，
∴a（sinC-sinA）-（b+c）（sinC-sinB）=0，
由正弦定理得a（c-a）-（b+c）（c-b）=0，
整理得a²+c²-b²=ac，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（II）由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
得sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）•\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴cosC=±$\sqrt{1{-sin}^{2}C}$=±$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；
当cosC=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$时，
sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴△ABC的面积为：
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3+$\sqrt{3}$；
当cosC=-$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$时，
sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴△ABC的面积为：
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\sqrt{3}$；
综上，△ABC的面积为3+$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量与解三角形的应用问题，也考查了计算与转化能力，是综合题．